Pour le stockage dans la base de donnée , nous avons besoin :
On fournira les coordonnées cartésiennes du point de référence (XR,YR) et celles d'un autre point (XP,YP) et on obtiendra l'angle (A) .
On aura :
A = arctan ((YP - YR) / (XP - XR))
A = arctan ((YP - YR) / (XP - XR)) +Pi
A = Pi/2
A = 3Pi/2
A = A + 2Pi
On fournira les coordonnées cartésiennes d'un point élément de la droite (XP,YP) et l'angle de cette droite avec l'horizontale (A) . L'équation de la droite est de la forme : aX + bY +c = 0 avec :
a = sin(A) b = - cos(A) c = YP cos(A) - XP sin(A)
Valeurs fournies :
Valeurs recherchées : X2 et Y2
X2 = xp et Y2 = ypd
X2 = xpd et Y2 = yp
X2 = xpd sin<sup>2</sup>(Aod) + xp cos<sup>2</sup>(Aod) + (yp - ypd) cos(Aod) sin(Aod) Y2 = yp sin<sup>2</sup>(Aod) + ypd cos<sup>2</sup>(Aod) + (xp - xpd) cos(Aod) sin(Aod)
Valeurs fournies :
Valeur recherchée : D
D = sqrt((xp1 - xp2)<sup>2</sup> + (yp1 - yp2)<sup>2</sup>)⇑
Les coordonnées cartésiennes du point seront X et Y .
Valeurs fournies 'x' et 'y' .
X = x Y = y
Valeurs fournies 'r' et 'A' .
X = r cos(A) Y = r sin(A)
Valeurs fournies :
X = xp + x Y = yp + y
Valeurs fournies :
X = xp + r cos(A) Y = yp + r sin(A)
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' et 'Afc' du cercle. <ode> X = xc Y = yc </code>
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' et 'yfd' du segment.
X = xdd et Y = ydd ou X = xfd et Y = yfd
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' et 'Afc' de l'arc.
X = xdc et Y = ydc ou X = xfc et Y = yfc
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' et 'yfd' du segment.
X = 1/2 (xdd + xfd) Y = 1/2 (ydd + yfd)
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' et 'Afc'de l'arc
A = 1/2 (Adc + Afc) X = rc cos(A) Y = rc sin(A)
Valeurs fournies 'xpd1' , 'ypd1' , 'Aod1' , 'xdd1' , 'ydd1' , 'xfd1' , 'yfd1' de la premiere droite et 'xpd2' , 'ypd2' , 'Aod2' , 'xdd2' , 'ydd2' , 'xfd2' , 'yfd2' de la deuxième droite.
Obtenir les équations des 2 droites .
a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0
X = (c2 b1 - c1 b2) / (a1 b2 - a2 b1) Y = (a2 c1 - a1 c2) / (a1 b2 - a2 b1)
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' de la droite et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' du cercle.
A = arcsin((ypd - yc) / rc) X = xc + rc cos(A) ou X = xc - rc cos(A) Y = ypd
A = sqrt(rc<sup>2</sup> - (xpd - xc)<sup>2</sup>) X = xpd Y = yc + A ou Y = yc - A
On calcul Xp et Yp , le point d'intersection de la droite avec une droite perpendiculaire passant par le centre du cercle. On verifie que la distance (D) centre cercle / point est inferieure au rayon du cercle.
Aref est l'angle du segment point de la droite / centre du cercle
Angle = Aod + (Pi/2) - arccos(D/rc) X1 = xc + rc cos(Angle) Y1 = yc + rc sin(Angle) et Angle = Aod + (Pi/2) + arccos(D/rc) X2 = xc + rc cos(Angle) Y2 = yc + rc sin(Angle)
Angle = Aod + (3Pi/2) - arccos(D/rc) X1 = xc + rc cos(Angle) Y1 = yc + rc sin(Angle) et Angle = Aod + (3Pi/2) + arccos(D/rc) X2 = xc + rc cos(Angle) Y2 = yc + rc sin(Angle)
Angle = Aod + (3Pi/2) - arccos(D/rc) X1 = xc + rc cos(Angle) Y1 = yc + rc sin(Angle) et Angle = Aod + (3Pi/2) + arccos(D/rc) X2 = xc + rc cos(Angle) Y2 = yc + rc sin(Angle)
Angle = Aod + (Pi/2) - arccos(D/rc) X1 = xc + rc cos(Angle) Y1 = yc + rc sin(Angle) et Angle = Aod + (Pi/2) + arccos(D/rc) X2 = xc + rc cos(Angle) Y2 = yc + rc sin(Angle)
Valeurs fournies 'xc1' , 'yc1' , 'rc1' , 'xdc1' , 'ydc1' , 'Adc1' , 'xfc1' , 'yfc1' , 'Afc1' pour le premier cercle et 'xc2' , 'yc2' , 'rc2' , 'xdc2' , 'ydc2' , 'Adc2' , 'xfc2' , 'yfc2' , 'Afc2' pour le deuxieme cercle.
Si xc1 = xc2 et yc1 = yc2 alors pas de solution.
Angle2 = arccos((D<sup>2</sup> + rc1<sup>2</sup> - rc2<sup>2</sup>)/(2D rc1)) X1 = xc + rc1 cos(Angle1 + Angle2) Y1 = yc + rc1 sin(Angle1 + Angle2) X2 = xc + rc1 cos(Angle1 - Angle2) Y2 = yc + rc1 sin(Angle1 - Angle2)
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' du point et 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' de la droite. Soit X2,Y2 le point d'intersection de la droite avec sa perpendiculaire passant par le point.
X = 2 X2 - xp Y = 2 Y2 - yp
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' du point centre de rotation , 'xp' , 'yp' du point à tourner et A l'angle de rotation.
R = yp - yc X = Xc - R sin(A) Y = yc + R cos(A)
R = xp - xc X = Xc + R cos(A) Y = yc + R sin(A)
Soit R la distance entre les deux points.
B = arccos((xp - xc) / R) (B compris entre 0 et pi) Si xp - xc >= 0 et yp - yc < 0 alors B = 2Pi - B Si xp - xc < 0 et yp - yc < 0 alors B = 2Pi - B X = xc + R cos(A + B ) Y = yc + R sin(A + B )
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' du point et 'xps' , 'yps' du point de symetrie.
X = 2 xps - xp Y = 2 yps - yp
Valeurs fournies 'xp1' , 'yp1' du premier point et 'xp2' , 'yp2' du deuxieme point.
X = 1/2 (xp1 + xp2) Y = 1/2 (yp1 + yp2)
Pour tous les angles :
Valeurs fournies 'x' , 'y' du point et Angle
X = x Y = y A = Angle
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' du point et Angle
X = xp Y = yp A = Angle
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' pour le point et 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite.
X = xp Y = yp A = Aod
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' pour le point et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle.
B est l'angle du segment point/centre cercle X = xp Y = yp A = B + arcsin(rc / D) ou A = B - arcsin(rc / D)
Valeurs fournies 'xp1' , 'yp1' du premier point et 'xp2' et 'yp2' du deuxieme point .
X = xp1 Y = yp2 D est la distance point 1 / point 2 A = arccos((xp2 - xp1) / D) si yp2 < yp1 alors A = 2Pi - A
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' pour le point et 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite.
X = xp Y = yp A = Aod + Pi/2
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' .
X = xc - rc sin(Aod) et Y = yc + rc cos(Aod) ou X = xc + rc sin(Aod) et Y = yc - rc cos(Aod)
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle.
X = xc - rc cos(Aod) et Y = yc - rc sin(Aod) ou X = xc + rc cos(Aod) et Y = yc + rc sin(Aod) A = Aod + Pi/2
Valeurs fournies 'xc1' , 'yc1' , 'rc1' , 'xdc1' , 'ydc1' , 'Adc1' , 'xfc1' , 'yfc1' , 'Afc1' pour le premier cercle et 'xc2' , 'yc2' , 'rc2' , 'xdc2' , 'ydc2' , 'Adc2' , 'xfc2' , 'yfc2' , 'Afc2' pour le deuxieme cercle.
Aod = Aref - arcsin(Valeur) xdd = xc1- rc1 sin(Aod) ydd = yc1 + rc1 cos(Aod) xfd = xc2 - rc2 sin(Aod) yfd = yc2 + rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd ou Aod = Aref + arcsin(Valeur) xdd = xc1+ rc1 sin(Aod) ydd = yc1 - rc1 cos(Aod) xfd = xc2 + rc2 sin(Aod) yfd = yc2 - rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd
Aod = Aref - arcsin(Valeur) xdd = xc1- rc1 sin(Aod) ydd = yc1 + rc1 cos(Aod) xfd = xc2 + rc2 sin(Aod) yfd = yc2 - rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd ou Aod = Aref + arcsin(Valeur) xdd = xc1+ rc1 sin(Aod) ydd = yc1 - rc1 cos(Aod) xfd = xc2 - rc2 sin(Aod) yfd = yc2 + rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd
Aod = Aref + arcsin(Valeur) xdd = xc1- rc1 sin(Aod) ydd = yc1 + rc1 cos(Aod) xfd = xc2 - rc2 sin(Aod) yfd = yc2 + rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd ou Aod = Aref - arcsin(Valeur) xdd = xc1+ rc1 sin(Aod) ydd = yc1 - rc1 cos(Aod) xfd = xc2 + rc2 sin(Aod) yfd = yc2 - rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd
Aod = Aref - arcsin(Valeur) xdd = xc1- rc1 sin(Aod) ydd = yc1 + rc1 cos(Aod) xfd = xc2 + rc2 sin(Aod) yfd = yc2 - rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd ou Aod = Aref + arcsin(Valeur) xdd = xc1+ rc1 sin(Aod) ydd = yc1 - rc1 cos(Aod) xfd = xc2 - rc2 sin(Aod) yfd = yc2 + rc2 cos(Aod) xpd = xdd ypd = ydd
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et A pour l'angle.
X = xc - rc sin(A) et Y = yc + rc cos(A) ou X = xc + rc sin(A) et Y = yc - rc cos(A)
Valeurs fournies 'xpd1' , 'ypd1' , 'Aod1' , 'xdd1' , 'ydd1' , 'xfd1' , 'yfd1' pour la premiere droite et 'xpd2' , 'ypd2' , 'Aod2' , 'xdd2' , 'ydd2' , 'xfd2' , 'yfd2' pour la deuxieme droite.
Obtenir les équations des 2 droites .
a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0
X = (c2 b1 - c1 b2) / (a1 b2 - a2 b1) Y = (a2 c1 - a1 c2) / (a1 b2 - a2 b1)
A = 1/2 (Aod1 + Aod2)
A = 1/2 (Aod1 + Aod2) + Pi/2
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite et D pour l'ecart .
X = xpd - D sin(Aod) Y = ypd + D cos(Aod) A = Aod ou X = xpd + D sin(Aod) Y = ypd - D cos(Aod) A = Aod
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite 'xpds' , 'ypds' , 'Aods' , 'xdds' , 'ydds' , 'xfds' , 'yfds' pour la droite de symetrie
X = 2*xpds - xa Y = 2*ypds - ya A = Aod
a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0
X = (c2 b1 - c1 b2) / (a1 b2 - a2 b1) Y = (a2 c1 - a1 c2) / (a1 b2 - a2 b1) A = 2 Aods - Aod
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' pour le point de rotation , 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite et A pour l'angle .
Soit X2,Y2 le point d'intersection de la droite avec sa perpendiculaire passant par le point de rotation.
R = sqrt( (X2 - xc)<sup>2</sup> + (Y2 - yc)<sup>2</sup>) B = arccos((X2 - xc) / R) Si Y2 < yc alors B = 2Pi - B X = xc + R cos(A + B ) Y = yc + R sin(A + B ) A = Aod + A
Valeurs fournies 'xps' , 'yps' pour le point de symetrie et 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite.
Soit X2, Y2 le point d'intersection de la droite avec sa perpendiculaire passant par le point de rotation.
X = 2 xps - X2 Y = 2 yps - Y2 A = Aod
Valeurs fournies 'xpc' , 'ypc' et 'r' .
X = xpc Y = ypc R = r
Valeurs fournies 'xpc' , 'ypc' pour le point de centre et 'xp' et 'yp' pour le point sur la circonference.
X = xpc Y = ypc R = distance point de centre / point sur la circonference
Valeurs fournies 'xpc' , 'ypc' pour le point de centre et 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite tangente.
Obtenir l'équation de la droite .
ax + by + c= 0
X = xpc Y = ypc R = distance point de centre / point X2,Y2
Valeurs fournies 'xpc' , 'ypc' pour le point de centre et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle tangent.
X = xpc Y = ypc
R = D - rc ou R = D + rc
R = rc - D
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' pour le point , 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite et 'r' pour le rayon.
Obtenir l'équation de la droite .
ax + by + c= 0
X = xp - r sin(Aod) Y = yp + r cos(Aod) R = r ou X = xp + r sin(Aod) Y = yp - r cos(Aod) R = r
cercle suivant :
X = xpd - r sin(Aod) Y = ypd + r cos(Aod) A = Aod
X = xpd + r sin(Aod) Y = ypd - r cos(Aod) A = Aod </code * Cercle : <code> X = xp Y = yp R = r
Valeurs fournies 'xp' , 'yp' pour le point , 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'r' pour le rayon .
xp,yp,r et xc,yc,(r - rc) xp,yp,r et xc,yc,(r + rc)
Valeurs fournies 'xp1' , 'yp1' pour le premier point , 'xp2' , 'yp2' pour le deuxième point et 'r' pour le rayon .
Valeurs fournies 'xpd1' , 'ypd1' , 'Aod1' , 'xdd1' , 'ydd1' , 'xfd1' , 'yfd1' pour la première droite ,'xpd2' , 'ypd2' , 'Aod2' , 'xdd2' , 'ydd2' , 'xfd2' , 'yfd2' pour la deuxième droite et 'r' pour le rayon . On a :
X = xpd1 - r sin(Aod) Y = ypd1 + r cos(Aod) A = Aod
X = xpd1 + r sin(Aod) Y = ypd1 - r cos(Aod) A = Aod
X = xpd2 - r sin(Aod) Y = ypd2 + r cos(Aod) A = Aod
X = xpd2 + r sin(Aod) Y = ypd2 - r cos(Aod) A = Aod
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite, 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'r' pour le rayon.
xc,yc,(r + rc) xc,yc,(r - rc) si r > rc
xc,yc,(rc + r) xc,yc,(rc - r) si rc > r
Valeurs fournies 'xc1' , 'yc1' , 'rc1' , 'xdc1' , 'ydc1' , 'Adc1' , 'xfc1' , 'yfc1' , 'Afc1' pour le premier cercle, 'xc2' , 'yc2' , 'rc2' , 'xdc2' , 'ydc2' , 'Adc2' , 'xfc2' , 'yfc2' , 'Afc2' pour le deuxième cercle et 'r' pour le rayon.
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'r' pour le rayon.
X = xc Y = yc R = r
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'E' pour la différence de rayon.
X = xc Y = yc R = rc + E
Valeurs fournies 'xp1' , 'yp1' pour le premier point, 'xp2' , 'yp2' pour le deuxième point et 'xp3' , 'yp3' pour le troisième point.
L'équation du cercle est :
X<sup>2</sup> + Y<sup>2</sup> + AX + BY + C = 0 D = xp1 yp2 + yp1 xp3 + xp2 yp3 - xp3 yp2 - yp3 xp1 - yp1 xp2 DA = (xp3<sup>2</sup> + yp3<sup>2</sup>)yp2 + (xp1<sup>2</sup> + yp1<sup>2</sup>)yp3 + (xp2<sup>2</sup> + yp2<sup>2</sup>)yp1 - (xp1<sup>2</sup>+yp1<sup>2</sup>)yp2 - (xp3<sup>2</sup> + yp3<sup>2</sup>)yp1 - (xp2<sup>2</sup> + yp2<sup>2</sup>)yp3 DB = (xp2<sup>2</sup> + yp2<sup>2</sup>)xp3 + (xp3<sup>2</sup> + yp3<sup>2</sup>)xp1 + (xp1<sup>2</sup> + yp1<sup>2</sup>)xp2 - xp1(xp2<sup>2</sup> + yp2<sup>2</sup>) - xp3(xp1<sup>2</sup> + yp1<sup>2</sup>) - xp2(xp3<sup>2</sup> + yp3<sup>2</sup>) DC = (xp1<sup>2</sup> + yp1<sup>2</sup>)xp3 yp2 + (xp2<sup>2</sup> + yp2<sup>2</sup>)yp3 xp1 + (xp3<sup>2</sup> + yp3<sup>2</sup>)xp2 yp1 - (xp3<sup>2</sup> + yp3<sup>2</sup>)xp1 yp2 - (xp2<sup>2</sup> + yp2<sup>2</sup>)yp1 xp3 - (xp1<sup>2</sup> + yp1<sup>2</sup>) xp2 yp3 A = DA / D B = DB / D C = DC / D X = - A / 2 Y = - B / 2 R = sqrt(X<sup>2</sup> + Y<sup>2</sup> - C)
Valeurs fournies 'x' , 'y' et 'r' .
X = x Y = y R = r
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'x' , 'y' pour les valeurs de déplacement.
X = xc + x Y = yc + y R = r
Valeurs fournies 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'r' , 'A' pour les valeurs de déplacement.
X = xc + r cos(A) Y = yc + r sin(A) R = rc
Valeurs fournies 'xpd' , 'ypd' , 'Aod' , 'xdd' , 'ydd' , 'xfd' , 'yfd' pour la droite de symètrie et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle.
On calcul P(x,y) qui est le point de centre du cercle symétrique par rapport à la droite.
X = x Y = y R = rc
Valeurs fournies 'xpc' , 'ypc' pour le point de rotation , 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle et 'A' pour l'angle de rotation.
On calcul P(x,y) qui est le point de centre du cercle tourné autour du point de rotation.
X = x Y = y R = rc
Valeurs fournies 'xps' , 'yps' pour le point de symètrie et 'xc' , 'yc' , 'rc' , 'xdc' , 'ydc' , 'Adc' , 'xfc' , 'yfc' , 'Afc' pour le cercle.
X = 2 xps - xc Y = 2 yps - yc R = rc⇑
Ce logiciel est libre au sens de la 'GNU General Public License' (version 2) de la Free Software Foundation . Il est fourni en l'état et sans aucune garantie.
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Date | Auteur | Description des modifications |
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17 août 2000 | Alain JAFFRE | J'utilisais et formais du personnel sur un logiciel de FAO 2D (Fabrication Assisté par Ordinateur 2 Dimensions). Celui-ci était protégé par un clé électronique. Dès que je voulais l'utiliser à des fins personnelles pour réaliser des dessins industriels, il me fallait tout emmener. Les solutions du commerce étaient chères ou trés peu intuitives dans leur utilisation. J'ai donc décidé d'essayer de créer mon propre logiciel de dessin (voir la partie programmes). Cela entraîne la question suivante : Comment calculer des éléments géomètriques ? Je me suis pris par la main, creusé la cervelle et ai parcouru un tas de bouqins de math. |
19 janvier 2002 | Alain JAFFRE | Remise en forme du document pour le rendre plus lisible et facilement imprimable |
29 novembre 2004 | Alain JAFFRE | Correction d'une erreur sur la bissectrice de 2 droites, signalée par un visiteur. Merci à lui. |
La dernière version est disponible sur: http://jack.r.free.fr.
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